topic62

不同路径

1. 题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

2. 示例

示例1

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例2

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例3

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例4

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 $2 * 10^9$

3. 解题

动态规划法 设dp[i][j]为从起点（[0][0]）到[i][j]的所有路径数 则dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]， 其中，i>1, j>1 初始状态，第一行（列）全为1 终止条件：到达终点

优化，将动态规划矩阵优化为数组 则动态转移方程变为： dp[i] = dp[i] + dp[i-1]