leetcode

115. Distinct Subsequences

题目

Given two strings s and t, return the number of distinct subsequences of s which equals t.

A string's subsequence is a new string formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the remaining characters' relative positions. (i.e., "ACE" is a subsequence of "ABCDE" while "AEC" is not).

It is guaranteed the answer fits on a 32-bit signed integer.

Example 1:

Input: s = "rabbbit", t = "rabbit"
Output: 3
Explanation:
As shown below, there are 3 ways you can generate "rabbit" from S.
rabbbitrabbbitrabbbit

Example 2:

Input: s = "babgbag", t = "bag"
Output: 5
Explanation:
As shown below, there are 5 ways you can generate "bag" from S.
babgbagbabgbagbabgbagbabgbagbabgbag

Constraints:

• 0 <= s.length, t.length <= 1000
• s and t consist of English letters.

题目大意

给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。

解题思路

• 在字符串 s 中最多包含多少个字符串 t。这里面包含很多重叠子问题，所以尝试用动态规划解决这个问题。定义 dp[i][j] 代表 s[i:] 的子序列中 t[j:] 出现的个数。初始化先判断边界条件。当 i = len(s) 且 0≤ j < len(t) 的时候，s[i:] 为空字符串，t[j:] 不为空，所以 dp[len(s)][j] = 0。当 j = len(t) 且 0 ≤ i < len(s) 的时候，t[j:] 不为空字符串，空字符串是任何字符串的子序列。所以 dp[i][n] = 1。

• 当 i < len(s) 且 j < len(t) 的时候，如果 s[i] == t[j]，有 2 种匹配方式，第一种将 s[i] 与 t[j] 匹配，那么 t[j+1:] 匹配 s[i+1:] 的子序列，子序列数为 dp[i+1][j+1]；第二种将 s[i] 不与 t[j] 匹配，t[j:] 作为 s[i+1:] 的子序列，子序列数为 dp[i+1][j]。综合 2 种情况，当 s[i] == t[j] 时，dp[i][j] = dp[i+1][j+1] + dp[i+1][j]。

• 如果 s[i] != t[j]，此时 t[j:] 只能作为 s[i+1:] 的子序列，子序列数为 dp[i+1][j]。所以当 s[i] != t[j] 时，dp[i][j] = dp[i+1][j]。综上分析得：

  $$dp[i][j] = \left{\begin{matrix}dp[i+1][j+1]+dp[i+1][j]&,s[i]=t[j]\ dp[i+1][j]&,s[i]!=t[j]\end{matrix}\right.$$

• 最后是优化版本。写出上述代码以后，可以发现填表的过程是从右下角一直填到左上角。填表顺序是 从下往上一行一行的填。行内从右往左填。于是可以将这个二维数据压缩到一维。因为填充当前行只需要用到它的下一行信息即可，更进一步，用到的是下一行中右边元素的信息。于是可以每次更新该行时，先将旧的值存起来，计算更新该行的时候从右往左更新。这样做即可减少一维空间，将原来的二维数组压缩到一维数组。

代码

package leetcode

// 解法一 压缩版 DP
func numDistinct(s string, t string) int {
	dp := make([]int, len(s)+1)
	for i, curT := range t {
		pre := 0
		for j, curS := range s {
			if i == 0 {
				pre = 1
			}
			newDP := dp[j+1]
			if curT == curS {
				dp[j+1] = dp[j] + pre
			} else {
				dp[j+1] = dp[j]
			}
			pre = newDP
		}
	}
	return dp[len(s)]
}

// 解法二 普通 DP
func numDistinct1(s, t string) int {
	m, n := len(s), len(t)
	if m < n {
		return 0
	}
	dp := make([][]int, m+1)
	for i := range dp {
		dp[i] = make([]int, n+1)
		dp[i][n] = 1
	}
	for i := m - 1; i >= 0; i-- {
		for j := n - 1; j >= 0; j-- {
			if s[i] == t[j] {
				dp[i][j] = dp[i+1][j+1] + dp[i+1][j]
			} else {
				dp[i][j] = dp[i+1][j]
			}
		}
	}
	return dp[0][0]
}